二者的整体意思没什么区别，要说区别的话，主要体现在 as 和 that 在句子中起的语法作用不同，或者说是说话者的侧重点不同：

as用于作比较的连词，暗示他和我以相似的方式完成了这个动作（犯错）。做比较的as在句中常常用来比较两个动作或状态是否相等或相似；

使用关代that，则指明他和我犯的错误是相同的。侧重于双方共犯的那个特定的错误。

可见两种用法在表达句意方面的区别是很细微的，这种细微差别不会影响到对句子的理解

一家之言，仅供参考；

勤查英英，必有所获！

【1】如果指:同类同物 用the same+名词+that

This is the same watch that I lost two days ago.这就是我两天前丢失的那块手表。

This is the same bag that I lost yesterday.这正是我昨天丢失的书包。

He is the same boy that I saw yesterday. 他就是我昨天见到的那个男孩。

She still wears the same skirt that she wore the other day.她还穿着她前天穿的那条裙子。

备注:that为关系代词引导定语从句用法,含有指代含义,表同类同物。

【2】如果指:同类异物 用the same+名词+as

Tom is wearing the same coat as I lost a few days ago.

汤姆正穿着跟我几天前所丢失的上衣同样的上衣。

I have bought the same watch as you have. 我买了一块和你一样的手表。

This is the same bag as I lost yesterday.这个书包和我昨天丢失的相同。

He wears the same shoes as his brother does. 他穿的鞋子和他弟弟穿的一样。

This chair is the same as mine. 这把椅子同我的一样。

备注:as为连词引导比较状语从句用法,含有比较含义,表同类异物。

【3】如果指:抽象名词 用the same+名词+as/that都可以

Tom made the same mistake as I did.汤姆犯了和我一样的错误。

Tom made the same mistake that I did.汤姆犯了和我一样的错误。

备注:由于是抽象名词，既可表指代也可以表比较,所以用that/as都可以。

总结(1):相同且是同一个事物,用that,相同但不是同一个事物用as

This is the same knife that I lost yesterday.【相同且是同一事物】

这正是我昨天丢失的那把小刀。

This is the same knife as I lost yesterday. 【相同但不是同一事物】

这把小刀跟我昨天丢失的那把一模一样。

总结(2):如果same后接抽象名词,用that和as都可以

Tom has the same dream that I do.汤姆和我有相同的梦想。

Tom has the same dream as I do. 汤姆和我有相同的梦想。