Why form the club是省略句吗?
应该不是:Why do you form the club?
另外,What does it hope to achieve? 可省略成下面这样的句子吗?
What hope to achieve?

以上截图来自 2019版人教版高中英语新教材必修一的 Unit 1(p21)。
你可以把它理解为省略句,也可以把它看作一种特殊句式。请参考《朗文英语语法》第13章的解释:13.37.3 Some functional uses of 'Why...?'
Why + verb often conveys the meaning of 'It's not worth the trouble to ' or 'I don't think you should' Why+动词表示“不必做某事”的意思。例如:You're fully insured so why worry?
你的What does it hope to achieve? 不能省略为What hope to achieve?
 
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1. why/why not 后常跟动词原形,询问“为什么做某事” 或 “为什么不做某事” ,表示建议。有时含有强烈的反问口气。
It's so cold here. Why stand here so long?这里这么冷。为什么站在这里这么长时间呢?
You can't find a job here. Why not try another city?你在这里找不到工作。为什么不到另一座城市试一试呢?
2. 注意:why 之后省略成分,通常主语是对方you,有思想意识的人。网友提供的两个句子,第一句主语是you,可以把操作词和主语一并省略,剩下动词原形;第二句主语 it 指无生命的“事物”俱乐部,不可省略。
 
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